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PROBABILIDAD 3: DISTRIBUCION BINOMIAL O DE BERNOULLI. Propiedades de la Distribución Binomial. DISTRIBUCIÓN DE POISSON. DISTRIBUCION MULTINOMIAL. DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA.

Sábado 4 de agosto de 2012, por PROFEclaudio

DISTRIBUCION BINOMIAL O DE BERNOULLI.

Cuando un ensayo de un experimento solo puede conducir solo a uno de dos resultados mutuamente exclusivos, tales como vivo o muerto, varón o mujer, casado o soltero, sano o enfermo, inteligente o tonto, etc.

El ensayo se conoce como: “Ensayo de Bernoulli”, en honor del matemático suizo “Jame Bernoulli”.

Para estandarizar la terminología que describe estos procesos, se dice que uno de los resultados posibles es éxito y el otro resultado es un fracaso.

Principales Características de la Distribución Binomial.

• En cada experimento, la variable aleatoria puede asumir solo uno de los 2 valores: éxito o fracaso.

• Los eventos del experimento son independiente. Lo que sucede en la primera prueba no afecta a lo que ocurre en la segunda y así sucesivamente.

• El valor de la probabilidad de un éxito lo representan con P, es constante de una prueba a otra.

Si se considera pruebas repetidas e independientes de un experimento con 2 resultados, llamados un éxito y otro fracaso. Sea P o p la probabilidad favorable y Q o q; Q=1-P , la probabilidad desfavorable. Si nos interesa el número de éxitos y no el orden en que sucede, entonces la probabilidad se calcula haciendo uso de la siguiente fórmula:

1. En una flotilla de camiones, estos tienen la probabilidad de accidente por viaje 1% (0.01). Cuál es la probabilidad de que ningún camión tenga accidente al enviar 2 en un viaje.
Datos

P= 0.01
q= 1-0.01
x=0
n=2

Propiedades de la Distribución Binomial.

La media. la media de una variable aleatoria binomial X, que se designa X  o E(x), es el número esperado de éxitos en “n” pruebas.

Desviación estándar ó típica. La varianza de la distribución de probabilidad binomial que expresa de la siguiente manera:

La desviación típica se expresa:

DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

La utilizamos cuando en los elementos binomiales la probabilidad de ocurrencia es casi nula, es decir que el valor de P sea muy pequeño y el valor de q es muy cercano a la unidad.

Un criterio muy válido para la decisión de la aplicación de esta distribución sobre la binomial es el siguiente:

• Cuando “n” es igual o mayor que 50 y el producto nP< 5, los consideramos como de probabilidad casi nula por tanto aplicamos la distribución de Poisson, la distribución de Poisson es expresada mediante el arreglo siguiente:

Donde:

e= 2.71828
==np=constante
=nPq=

DISTRIBUCION MULTINOMIAL.

Si los sucesos E1, E2, ....., Ek pueden ocurrir con frecuencias P1, P2,.....,Pk respectivamente, entonces la probabilidad, entonces la probabilidad de E1, E2, ....., Ek ocurran hasta X1, X2, ....., Xk veces, respectivamente es:

Donde:

Esta distribución, que es una generalización de la distribución binomial, se llama distribución multinomial, ya que la fórmula es el término general en el desarrollo multinomial:

Ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad si se lanza un dado 12 veces, cuál es la probabilidad de obtener 1,2,3,4,5,6 puntos exactamente 2 veces cada uno.

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA.

Esta distribución se emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en un espacio muestral de N ensayos; pero a diferencia de la distribución binomial en donde los datos de la muestra se extraen cada reemplazo para una población finita o sin reemplazo para una población infinita, en la distribución hipergeométrica los datos de la muestra se extraen sin reemplazo en una población finita. Por esto, en esta distribución hipergeometrica el resultado de una observación depende o es afectado por el resultado de cualquier otra u otras observaciones anteriores.
Resumiendo diremos que la distribución hipergeometrica se emplea para muestreos sin reemplazo de un población finita cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo. Su definición formal es:

Dado un espacio muestral S de tamaño N con los subespacios

Entonces la probabilidad de que n ensayos K pertenecen a M y (n-k) pertenezcan a (N-M) esta dada por:

Donde:

Gráficamente se puede representar así:

M (N-M)
K (n-k)

Siendo:

N: el tamaño del espacio muestral S.
n: el tamaño de la muestra cada número de ensayos.
M: el número de éxitos en el espacio muestral.
N-M: el tamaño de fracasos en el espacio muestral.
k: el tamaño de éxitos en la muestra.
n-k: el tamaño de fracasos en la muestra.

Ejemplo:

Si en una empresa se presentan para cubrir 2 vacantes, 13 aspirantes de los cuales 5 son hombres y 8 son mujeres. Calcular la variable aleatoria X: número de hombres contratados.

Siendo N=13 aspirantes para cubrir 2 vacantes
x= número de hombres contratados para cubrirlas
E0= se contratan K0=0 hombres  contratar a (n-k0)=2 mujeres.
E1= se contratan K1= 1 hombre contratar a (n-k1)=1 mujer
E2= se contratan K2= 2 hombres contratar a (n-k2)=0 mujer

La visión gráfica del problema es:

M=5 (N-M)=8
K0=0 (n-k0)=2
K1=1 (n-k1)=1
K2=2 (n-k2)=0

Donde N=13 ; n=2



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