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¿qué es un polítopo? Bien, un polítopo es la generalización a dimensión n de lo que en dimensión 2 es un polígono y en dimensión 3 es un poliedro

Jueves 24 de febrero de 2011, por hurtadoc

La
paradoja del polítopo irracional

Posted:
22 Feb 2011 10:00 PM PST

Comencemos por el principio: ¿qué es un polítopo? Bien, un polítopo
es la generalización a dimensión n
de lo que en dimensión 2 es un polígono y en dimensión 3 es un poliedro.
Esto es, por ejemplo un pentágono es un 2-polítopo y un dodecaedro es un 3-polítopo.

PentágonoTomemos
un pentágono regular, polígono con 5 vértices y cinco lados iguales donde
los ángulos formados por dos lados consecutivos son iguales. Dibujemos esta
figura en un plano, con sus ejes de coordenadas, intentando que cada
uno de los vértices de nuestro pentágono regular caiga en un punto cuyas
coordenadas sean números racionales
. Después de varios intentos
seguro que pensáis que debe ser muy complicado…Bueno, de hecho es
imposible
. ¿La razón? Pues la relación del número áureo
\phi
(que es un número irracional) con el pentágono regular.

Imaginemos ahora que movemos un poco los vértices de nuestro pentágono
regular hasta colocarlos en puntos con coordenadas racionales. Nuestro pentágono
dejaría de ser un polígono regular, pero bien es cierto que seguiría siendo
un pentágono que, ahora sí, tendría todos sus vértices en puntos cuyas
coordenadas son números racionales.

DodecaedroTomemos
ahora un dodecaedro, poliedro regular que aparece en la imagen de la derecha.
Queremos colocarlo en el espacio tridimensional de tal forma que todos sus vértices,
los 20 que tiene, caigan en puntos con coordenadas racionales. Pero la situación
es parecida a la anterior, no se puede. Ahora, exactamente
igual que en el caso del pentágono, podemos mover las caras del
dodecaedro regular de tal forma que todos los vértices caigan en puntos con
coordenadas racionales
. Igual que antes, el poliedro dejaría de ser
regular, pero conseguiríamos nuestro objetivo.

Bien, pues el hecho paradójico que os quiero comentar hoy es que hay casos
en los que no se puede conseguir lo explicado arriba, es decir, se
pueden construir polítopos convexos tales que nunca podrán tener sus vértices
en puntos con coordenadas racionales por mucho que movamos sus vértices
o sus caras
. ¿Ein? Venga ya, si parece evidente que con una mínima perturbación
de los vértices que tengan coordenadas irracionales los podemos colocar todos
en puntos con coordenadas racionales…Pues no, en general no se puede
hacer eso
.

Antes de seguir quiero aclarar que hasta dimensión 3 sí se puede
hacer
. Es decir, podemos modificar la posición de los vértices de
cualquier polígono convexo del plano y de cualquier poliedro convexo del
espacio tridimensional para que todos sus vértices tengan coordenadas
racionales. Pero en dimensiones superiores esto, en general, no ocurre. De
hecho se pueden construir explícitamente polítopos en dimensiones superiores
que cumple que no se pueden modificar sus vértices para que todos tengan
coordenadas racionales.

Este resultado se debe a Micha Perles, quien lo demostró
en los años 60 (del siglo XX, evidentemente). Al parecer la construcción de
Perles mediante la cual demostró el resultado es algo complicada, por lo que Günter
M. Ziegler
nos proporciona una construcción más simple en su
trabajo Non-rational
configurations, polytopes and surfaces
, paper en el cual se puede
encontrar alguna cosa más. Vale la pena que le echéis un vistazo.

Cada día estoy más convencido de que las dimensiones superiores a 3 son
una fuente inagotable de hechos que atentan contra nuestra intuición…Aunque
en este caso hasta la dimensión 3 se ve salpicada (aunque en este
caso habría que prescindir de la convexidad). Os recomiendo leer el paper.


Encontré este curioso tema en este
post de Ars Mathematica
.

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